teori bilangan ( sifat - sifat FPB )

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR ( FPB )

Bag. Sifat – Sifat FPB

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah

“Teori Bilangan”

 

Disusun oleh:

Alivatul Nurnandia

NIM. 210611085

Dosen Pengampu:

Kurnia Hidayati, M. Pd.

Jurusan/Prodi/Semester

Tarbiyah/PGMI/6

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI

(STAIN) PONOROGO

2014

                                             SIFAT – SIFAT  FPB

    A.            Definisi dan sifat – sifat FPB I

1.      Definisi

Sebuah bilangan bulat “b”dikatakan habis dibagi bilangan bulat “a”dan a  0 dan terdapat bilangan bulat “c”, sehingga b = a . c, ditulis a | b

Contoh:

12 habis dibagi 4, karena 12 = 4 . 3 sehingga ditulis 4 | 12

Istilah lain untuk a | b ; a faktor dari b, a pembagi b, atau b kelipatan a.

2.      Sifat – sifat

Beberapa sifat yang merupakan akibat dari definisi “faktor”. Meskipun pembagi tidak dicantumkan, akan tetapi pembago diasumsikan tidak nol.

a.      a | 0, 1 | a, a | a

·         a  0 dapat ditulis a . 0 = 0

Contoh : 2 | 0  2 . 0 = 0

·         1 | a dapat ditulis 1 . a = a

Contoh: 1 | 3  1 . 3 = 3

·         a | a dapat ditulis m . a = a, dimana m = 1

Contoh: 5 | 5  1 . 5 = 5

b.      a | 1 jika dan hanya jika a = ± 1

Contoh: - 1 | 1 , 1 | 1

c.       Jika a | b dan c | d maka ac | bd

Contoh : 2 | 6 dan 4 | 8 maka 2 . 4 | 6 . 8 → 8 | 48

d.      Jika a  b dan b  c maka a  c

Contoh : 2  4 dan 4  16 maka 2  16

e.       a  b dan b  a  jika dan hanya jika a = ± b

Contoh : - 2  2 dan 2  2 maka 2  - 2

f.        Jika a  b dan b  0 maka   a      b

Contoh : 3  6 dan 6  0 maka   3      6

g.      Jika a  b dan a  c maka a  ( bx + cy ) untuk x dan y bilangan bulat sebarang

Contoh : : 5  10 dan 5  25 maka 5  ( 10 . 2 + 25 . 1)

                                                      5  ( 20 + 25 )

                                                      5  45

     B.            Definisi dan sifat – sifat FPB II

1.      Definisi

FPB ( a, b ), memenuhi:

a.       d | a dan d | b

b.      Jika c | a dan c | b maka c | d dengan c  b dan d  0

Contoh :

a.       12 | 36 dan 12 | 48

b.      6 | 36 dan 6 | 48 maka 6 | 12 dengan         6 ≤ 48 dan 12 > 0

Ø  Sebagai ilustrasi:

36 = ( 1, 2, 3, 4, 9, 6, 6, 12, 18, 36 )

48 = ( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 )

Jadi faktor persekutuannya adalah ( 1, 2, 3, 4, 6, 12 )

Maka FPB ( 36, 48 ) = 12

Ø  Kombinasi linier

FPB ( 36, 48 ) = 36 . ( -1 ) + 48 . 1

                              = - 36 + 48

                              = 12

2.      Sifat – sifat

a.      Sifat 1

Jika a dan b bilangan – bilangan bulat dan keduanya tidak nol maka ada bilangan – bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga

                        FPB (a,b) = ax + by

Contoh :

FPB (6,15) = 6 . 3 + 15 . ( -1 )

                   = 18 + ( - 15 )

                   = 3

Bukti .

1)      Himpunan S adalah himpunan semua kombinasi linier positif dari a dan b

      S = {au + bv | au + bv  0; u, v bilangan – bilangan bulat }

Contoh : jika a = 6 dan b = 15, maka S adalah :

      S = { 6 . (-2) + 15 . 1, 6 . (-1) + 15 . 1, 6 . 1 + 15 . 0, … }

               = {3, 9, 6, … }

Kita mengamati bahwa 3 adalah bilangan bulat terkecil di dalam S.

Jadi 3 = FPB ( 6, 15 )

2)      Dengan menggunakan alogaritma pembagian, kita dapat memperoleh q dan r sedemikian sehingga a = qd + r, dimana 0 r  d.r dapat kita tulis dalam bentuk

      a = a – qd = a – q ( ax + by )

                       = a ( 1 – qx ) + b( - qy )

Jika r = 0 dan a = qd, atau ekuivalen dengan d | a. dengan demikian penalaran yang serupa, d | b. Akibatnya d adalah faktor sekutu dari a dan b.

Contoh :

a = 12, b = 28, q = 2, d = 4, r = 4, maka

12 = 12 – 2 . 4 = 12 – 2 ( 12 . (-2) + 28 . 1 )

                        = 12 ( 1 – 2 . (-2)) + 28 ( - 2 . 1)

                        = 12 . 5 + 28 . ( - 2 )

                        = 60 + ( - 56 )

                        = 4

Jadi 4 adalah FPB ( 12, 28 )

b.      Sifat 2

Jika a dan b bilangan – bilangan bulat tidak nol maka himpunan

            T = { ax + by | x, y bilangan – bilangan bulat }

Adalah himpunan semua kelipatan d = FPB ( a, b )

Bukti.

Karena d | a dan d | b, kita mengetahui d | ( ax + by ) untuk setiap x, y bilangan bulat. Dengan demikian setiap anggota T adalah kelipatan dari d. d dapat ditulis d =  +  untuk suatu  dan  bilangan bulat. Sedemikian sehingga sebarang kelipatan d adalah berbentuk

nd = n ( +  ) = a ( n ) + b ( n)

Dengan demikian, nd adalah kombinasi arah dari a dan b, dengan definisi terletak di T.

Definisi.

Apabila bilangan bulat a dan b keduanya tidak nol di sebut bilangan prima jika FPB ( a, b ) = 1

Contoh :

6 = FPB ( 12, 30 )

Bukti.

T = { 12 . (-2) + 30 . 1, 12 . (-1) + 30 .1, 12 . 1 + 30 . 0, … }

  = { 6, 18, 12, … }

Jadi FPB ( 12,30 ) = 6

c.       Sifat 3

Jika a dan b bilangan prima dan keduanya tidak nol maka FPB ( a, b ) = 1. Sifat satu menjamin bahwa ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi

1 = ax + by. Konversnya, misalkan 1 = ax + by untuk suatu x dan y, dan d = FPB ( a, b ). Karena d | a dan d | b, d | ( ax + by ), atau d | 1

Contoh :

FPB ( 3, 7 ) = 1

1 = 3 . (-2) + 7 . 1

  = -6 + 7

  = 1

Karena 1 | 3 dan 1 | 7, 1 | ( 3 . (-2) + 7 . 1), atau 1 | 1

d.      Sifat 4

Jika FPB ( a, b ) = d maka FPB (a/d, b/d ) = 1

Contoh :

FPB ( 8, 12 ) = 4 maka FPB (  ,  ) = 1 → ( 2, 3 ) = 1

e.       Sifat 5

Jika a | c dan a | c, dengan FPB ( a, b ) = 1 maka ab | c

Contoh :

Jika 2 | 28 dan 2 | 28, dengan FPB ( 2, 7 ) = 1 maka 2.7 | 28 → 14 | 28

f.        Sifat 6

Jika a | bc, dengan FPB ( a, b ) = 1, maka a| c

Contoh :

Jika 2 | 5.10, dengan FPB ( 2, 5 ) = 1, maka 2 | 10

g.      Sifat 7

Misalkan a,  bilangan – bilangan bulat, keduanya tidak nol dan d bilangan bulat positif. d = FPB ( a, b ) jika dan hanya jika:

1)      d | a dan d | b

2)      Jika c | a dan c | b maka c | d

Contoh :

2 = FPB ( 6, 8 ) jika dan hanya jika

1)      2 | 6 dan 2 | 8

2)      Jika 2 | 6 dan 2 | 8 maka 2 | 2