FAKTOR
PERSEKUTUAN TERBESAR ( FPB )
Bag. Sifat – Sifat FPB
Makalah ini disusun untuk memenuhi
tugas mata kuliah
“Teori Bilangan”
Disusun oleh:
Alivatul Nurnandia
NIM. 210611085
Dosen Pengampu:
Kurnia Hidayati, M. Pd.
Jurusan/Prodi/Semester
Tarbiyah/PGMI/6
SEKOLAH
TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI
(STAIN)
PONOROGO
2014
SIFAT
– SIFAT FPB
A.
Definisi
dan sifat – sifat FPB I
1.
Definisi
Sebuah
bilangan bulat “b”dikatakan habis dibagi bilangan bulat “a”dan a 0 dan terdapat bilangan bulat “c”,
sehingga b = a . c, ditulis a | b
Contoh:
12 habis dibagi 4, karena 12 = 4 . 3 sehingga
ditulis 4 | 12
Istilah lain untuk a | b ; a faktor dari b, a pembagi b,
atau b kelipatan a.
2.
Sifat – sifat
Beberapa sifat
yang merupakan akibat dari definisi “faktor”. Meskipun pembagi tidak
dicantumkan, akan tetapi pembago diasumsikan tidak nol.
a.
a | 0, 1 | a, a | a
·
a 0 dapat ditulis a . 0 = 0
Contoh : 2 | 0 2 . 0 = 0
·
1 | a dapat ditulis 1 . a = a
Contoh: 1 | 3 1 . 3 = 3
·
a | a dapat ditulis m . a = a, dimana
m = 1
Contoh: 5 | 5 1 . 5 = 5
b.
a | 1 jika dan hanya jika a = ± 1
Contoh: - 1 | 1 , 1 | 1
c.
Jika
a | b dan c | d maka ac | bd
Contoh : 2 | 6 dan 4 | 8 maka 2 . 4 | 6 . 8 → 8 | 48
d.
Jika
a
b dan b c maka a c
Contoh : 2 4 dan 4 16 maka 2 16
e.
a
b dan b a jika
dan hanya jika a = ± b
Contoh : - 2 2 dan 2 2 maka 2 - 2
f.
Jika
a
b dan b
0 maka a b
Contoh : 3 6 dan 6 0 maka 3 6
g.
Jika
a
b dan a c maka a ( bx + cy ) untuk x dan y bilangan bulat
sebarang
Contoh : : 5 10 dan 5 25 maka 5 ( 10 . 2 + 25 . 1)
5 ( 20 + 25 )
5 45
B.
Definisi
dan sifat – sifat FPB II
1.
Definisi
FPB ( a, b ), memenuhi:
a.
d | a dan d |
b
b.
Jika c | a dan
c | b maka c | d dengan c b dan d 0
Contoh
:
a.
12 | 36 dan 12
| 48
b.
6 | 36 dan 6 |
48 maka 6 | 12 dengan 6 ≤ 48 dan
12 > 0
Ø Sebagai ilustrasi:
36 = ( 1,
2, 3, 4, 9, 6, 6, 12, 18, 36 )
48 = ( 1,
2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 )
Jadi faktor persekutuannya adalah ( 1, 2, 3, 4, 6, 12 )
Maka FPB ( 36, 48 ) = 12
Ø Kombinasi linier
FPB ( 36, 48 ) = 36 . ( -1 ) + 48 . 1
= - 36 + 48
= 12
2.
Sifat – sifat
a.
Sifat
1
Jika a dan b
bilangan – bilangan bulat dan keduanya tidak nol maka ada bilangan – bilangan
bulat x dan y sedemikian sehingga
FPB
(a,b) = ax + by
Contoh :
FPB (6,15) = 6 . 3 + 15 . ( -1 )
= 18 + ( - 15 )
= 3
Bukti .
1)
Himpunan S
adalah himpunan semua kombinasi linier positif dari a dan b
S = {au +
bv | au + bv 0; u, v bilangan – bilangan bulat
}
Contoh : jika a = 6 dan b = 15, maka S adalah :
S = { 6 .
(-2) + 15 . 1, 6 . (-1) + 15 . 1, 6 . 1 + 15 . 0, … }
= {3, 9, 6, … }
Kita mengamati bahwa 3 adalah bilangan bulat
terkecil di dalam S.
Jadi 3 = FPB ( 6, 15 )
2)
Dengan
menggunakan alogaritma pembagian, kita dapat memperoleh q dan r sedemikian
sehingga a = qd + r, dimana 0 r d.r dapat kita tulis dalam bentuk
a = a –
qd = a – q ( ax + by )
= a ( 1 – qx ) + b( - qy )
Jika r = 0 dan a = qd, atau ekuivalen dengan d | a.
dengan demikian penalaran yang serupa, d | b. Akibatnya d adalah faktor sekutu
dari a dan b.
Contoh :
a = 12, b = 28, q = 2, d = 4, r = 4, maka
12 = 12 – 2 . 4 = 12 – 2 ( 12 . (-2) + 28 . 1 )
= 12 ( 1 – 2 . (-2)) + 28 ( - 2 . 1)
= 12 . 5 + 28 . ( - 2 )
= 60 + ( - 56 )
= 4
Jadi 4 adalah FPB ( 12, 28 )
b.
Sifat
2
Jika a dan b bilangan – bilangan bulat tidak nol
maka himpunan
T =
{ ax + by | x, y bilangan – bilangan bulat }
Adalah himpunan semua kelipatan d = FPB ( a, b )
Bukti.
Karena d | a dan d | b, kita mengetahui d | ( ax +
by ) untuk setiap x, y bilangan bulat. Dengan demikian setiap anggota T adalah
kelipatan dari d. d dapat ditulis d = + untuk suatu dan bilangan bulat. Sedemikian
sehingga sebarang kelipatan d adalah berbentuk
nd = n ( + ) = a ( n ) + b ( n)
Dengan demikian, nd adalah kombinasi arah dari a dan
b, dengan definisi terletak di T.
Definisi.
Apabila bilangan bulat a dan b keduanya tidak nol di
sebut bilangan prima jika FPB ( a, b ) = 1
Contoh :
6 = FPB ( 12, 30 )
Bukti.
T = { 12 . (-2) + 30 . 1, 12 . (-1) + 30 .1, 12 . 1
+ 30 . 0, … }
= { 6, 18,
12, … }
Jadi FPB ( 12,30 ) = 6
c.
Sifat
3
Jika a dan b bilangan prima dan keduanya tidak nol
maka FPB ( a, b ) = 1. Sifat satu menjamin bahwa ada bilangan bulat x dan y
yang memenuhi
1 = ax + by. Konversnya, misalkan 1 = ax + by untuk
suatu x dan y, dan d = FPB ( a, b ). Karena d | a dan d | b, d | ( ax + by ),
atau d | 1
Contoh :
FPB ( 3, 7 ) = 1
1 = 3 . (-2) + 7 . 1
= -6 + 7
= 1
Karena 1 | 3 dan 1 | 7, 1 | ( 3 . (-2) + 7 . 1),
atau 1 | 1
d.
Sifat
4
Jika FPB ( a, b ) = d maka FPB (a/d, b/d ) = 1
Contoh :
FPB ( 8, 12 ) = 4 maka FPB ( , ) = 1 → ( 2, 3 ) = 1
e.
Sifat
5
Jika a | c dan a | c, dengan FPB ( a, b ) = 1 maka
ab | c
Contoh :
Jika 2 | 28 dan 2 | 28, dengan FPB ( 2, 7 ) = 1 maka
2.7 | 28 → 14 | 28
f.
Sifat
6
Jika a | bc, dengan FPB ( a, b ) = 1, maka a| c
Contoh :
Jika 2 | 5.10, dengan FPB ( 2, 5 ) = 1, maka 2 | 10
g.
Sifat
7
Misalkan a,
bilangan – bilangan bulat, keduanya tidak nol dan d bilangan bulat
positif. d = FPB ( a, b ) jika dan hanya jika:
1)
d | a dan d |
b
2)
Jika c | a dan
c | b maka c | d
Contoh :
2 = FPB ( 6, 8 ) jika dan hanya jika
1)
2 | 6 dan 2 |
8
2)
Jika 2 | 6 dan
2 | 8 maka 2 | 2